Coeficientes de Clebsch-Gordan

Na física, os coeficientes de Clebsch-Gordan (CG) são números que surgem no acoplamento de momento angular na mecânica quântica. Eles aparecem como os coeficientes de expansão dos autoestados de momento angular total em uma base desacoplada de produto tensorial. Em termos mais matemáticos, os coeficientes CG são usados na teoria de representação, particularmente de grupos de Lie compactos, para realizar a decomposição explícita em soma direta do produto tensorial de duas representações irredutíveis (isto é, uma representação redutível em representações irredutíveis, em casos onde os números e tipos de componentes irredutíveis já são conhecidos abstratamente). O nome deriva dos matemáticos alemães Alfred Clebsch e Paul Gordan, que encontraram um problema equivalente na teoria dos invariantes. A partir de uma perspectiva do cálculo vetorial, os coeficientes CG associados ao grupo SO(3) podem ser definidos simplesmente em termos de integrais de produtos de harmônicos esféricos e seus complexos conjugados. A adição de spins em termos da mecânica quântica pode ser lida diretamente a partir desta abordagem, pois os harmônicos esféricos são autofunções do momento angular total e sua projeção sobre um eixo, e as integrais correspondem ao produto interno do espaço de Hilbert. A partir da definição formal de momento angular, relações de recorrência para os coeficientes de Clebsch-Gordan podem ser encontradas. Também existem fórmulas explícitas complicadas para o seu cálculo direto. As fórmulas abaixo usam a notação bra-ket de Dirac e a convenção de fase de Condon-Shortley é adotada.

Revisão dos operadores de momento angular Os operadores de momento angular são operadores autoadjuntos jx, jy e jz que satisfazem as relações de comutação

[

] ≡

−

= i ħ

k l m

k , l , m

∈ {

x , y , z

} ,

{\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathrm {j} _{k},\mathrm {j} _{l}]\equiv \mathrm {j} _{k}\mathrm {j} _{l}-\mathrm {j} _{l}\mathrm {j} _{k}=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {j} _{m}&k,l,m&\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{aligned}}}

onde εklm é o símbolo de Levi-Civita. Juntos, os três operadores definem um operador vetorial, um operador tensorial cartesiano de posto um,

= (

) .

{\displaystyle \mathbf {j} =(\mathrm {j_{x}} ,\mathrm {j_{y}} ,\mathrm {j_{z}} ).}

Ele também é conhecido como um vetor esférico, uma vez que também é um operador tensorial esférico. É apenas para o posto um que os operadores tensoriais esféricos coincidem com os operadores tensoriais cartesianos. Desenvolvendo este conceito ainda mais, pode-se definir outro operador j2 como o produto interno de j consigo mesmo:

{\displaystyle \mathbf {j} ^{2}=\mathrm {j_{x}^{2}} +\mathrm {j_{y}^{2}} +\mathrm {j_{z}^{2}} .}

Este é um exemplo de um operador de Casimir. Ele é diagonal e o seu autovalor caracteriza a representação irredutível particular da álgebra de momento angular

s o

( 3 ,

) ≅

s u

( 2 )

{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)}

. Isto é interpretado fisicamente como o quadrado do momento angular total dos estados sobre os quais a representação atua. Também é possível definir operadores de levantamento (j+) e abaixamento (j−), os chamados operadores escada,

± i

{\displaystyle \mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}} .}

Base esférica para autoestados de momento angular A partir das definições acima, pode-se mostrar que j2 comuta com jx, jy e jz:

[

] = 0

∈ {

} .

{\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathbf {j} ^{2},\mathrm {j} _{k}]=0&k&\in \{\mathrm {x} ,\mathrm {y} ,\mathrm {z} \}.\end{aligned}}}

Quando dois operadores hermitianos comutam, existe um conjunto comum de autoestados. Convencionalmente, escolhem-se j2 e jz. A partir das relações de comutação, os autovalores possíveis podem ser encontrados. Estes autoestados são denotados como Predefinição:Ket, onde j é o número quântico de momento angular e m é a projeção do momento angular sobre o eixo z. Eles compreendem a base esférica, são completos e satisfazem as seguintes equações de autovalor:

m ⟩

j ( j + 1 )

m ⟩ ,

∈ { 0 ,

1 2

, 1 ,

3 2

, ... }

m ⟩

= ħ m

m ⟩ ,

∈ { − j , − j + 1 , ... , j } .

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle ,&j&\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle &=\hbar m|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{aligned}}}

Os operadores de levantamento e abaixamento podem ser usados para alterar o valor de m,

m ⟩ = ħ

( j , m )

( m ± 1 ) ⟩ ,

{\displaystyle \mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_{\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle ,}

onde o coeficiente escada é dado por:

Em princípio, também se pode introduzir um fator de fase (possivelmente complexo) na definição de

( j , m )

{\displaystyle C_{\pm }(j,m)}

. A escolha feita neste artigo está de acordo com a convenção de fase de Condon-Shortley. Os estados de momento angular são ortogonais (porque seus autovalores em relação a um operador hermitiano são distintos) e assume-se que estejam normalizados,

⟨ j

j ′

m ′

⟩ =

j ,

j ′

m ,

m ′

{\displaystyle \langle j\,m|j'\,m'\rangle =\delta _{j,j'}\delta _{m,m'}.}

Aqui, os itálicos j e m denotam números quânticos inteiros ou semointeiros de momento angular de uma partícula ou de um sistema. Por outro lado, as letras romanas jx, jy, jz, j+, j− e j2 denotam operadores. Os símbolos

{\displaystyle \delta }

são deltas de Kronecker.

Espaço produto tensorial Consideramos agora sistemas com dois momentos angulares fisicamente diferentes, j1 e j2. Exemplos incluem o spin e o momento angular orbital de um único elétron, os spins de dois elétrons, ou os momentos angulares orbitais de dois elétrons. Matematicamente, isto significa que os operadores de momento angular atuam em um espaço

{\displaystyle V_{1}}

de dimensão

+ 1

{\displaystyle 2j_{1}+1}

e também em um espaço

{\displaystyle V_{2}}

de dimensão

+ 1

{\displaystyle 2j_{2}+1}

. Vamos então definir uma família de operadores de "momento angular total" atuando no espaço de produto tensorial

⊗

{\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}

, que tem dimensão

( 2

+ 1 ) ( 2

+ 1 )

{\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}

. A ação do operador de momento angular total neste espaço constitui uma representação da álgebra de Lie SU(2), mas redutível. A redução desta representação redutível em partes irredutíveis é o objetivo da teoria de Clebsch-Gordan. Seja V1 o espaço vetorial de dimensão (2 j1 + 1) gerado pelos estados

⟩ ,

∈ { −

, −

+ 1 , ... ,

}

{\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{1}\,m_{1}\rangle ,&m_{1}&\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\}\end{aligned}},}

e V2 o espaço vetorial de dimensão (2 j2 + 1) gerado pelos estados

⟩ ,

∈ { −

, −

+ 1 , ... ,

}

{\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{2}\,m_{2}\rangle ,&m_{2}&\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}\end{aligned}}.}

O produto tensorial desses espaços, V3 ≡ V1 ⊗ V2, possui uma base desacoplada de dimensão (2 j1 + 1) (2 j2 + 1)

⟩ ≡

⟩ ⊗

⟩ ,

∈ { −

, −

+ 1 , ... ,

} ,

∈ { −

, −

+ 1 , ... ,

} .

{\displaystyle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}.}

Os operadores de momento angular são definidos para atuar sobre os estados em V3 da seguinte maneira:

(

⊗ 1 )

⟩ ≡

⟩ ⊗

⟩

{\displaystyle (\mathbf {j} _{1}\otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \mathbf {j} _{1}|j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle }

( 1 ⊗

)

⟩ ≡

⟩ ⊗

⟩ ,

{\displaystyle (1\otimes \mathrm {\mathbf {j} } _{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} _{2}|j_{2}\,m_{2}\rangle ,}

onde 1 denota o operador identidade. Os operadores de momento angular total são definidos pelo coproduto (ou produto tensorial) das duas representações atuando sobre V1⊗V2,

Pode-se demonstrar que os operadores de momento angular total satisfazem as mesmíssimas relações de comutação,

[

] = i ħ

k l m

{\displaystyle [\mathrm {J} _{k},\mathrm {J} _{l}]=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {J} _{m}~,}

onde k, l, m ∈ {x, y, z}. De fato, a construção precedente é o método padrão para construir uma ação de uma álgebra de Lie sobre uma representação de produto tensorial. Assim, um conjunto de autoestados acoplados existe também para o operador de momento angular total,

[

]

M ⟩

J ( J + 1 )

[

]

M ⟩

[

]

M ⟩

= ħ M

[

]

M ⟩

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar ^{2}J(J+1)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \\\mathrm {J_{z}} |[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar M|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \end{aligned}}}

para M ∈ {−J, −J + 1, ..., J}. Note que é comum omitir a parte [j1 j2]. O número quântico de momento angular total J deve satisfazer a condição triangular de que

−

≤ J ≤

{\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2},}

de forma que os três valores inteiros ou semointeiros não negativos possam corresponder aos três lados de um triângulo. O número total de autoestados de momento angular total é necessariamente igual à dimensão de V3:

∑

J =

−

( 2 J + 1 ) = ( 2

+ 1 ) ( 2

+ 1 )

{\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)~.}

Como este cálculo sugere, a representação do produto tensorial se decompõe como a soma direta de uma cópia de cada uma das representações irredutíveis de dimensão

2 J + 1

{\displaystyle 2J+1}

, onde

{\displaystyle J}

varia de

−

{\displaystyle |j_{1}-j_{2}|}

até

{\displaystyle j_{1}+j_{2}}

em incrementos de 1. Como exemplo, considere o produto tensorial da representação tridimensional correspondente a

= 1

{\displaystyle j_{1}=1}

com a representação bidimensional com

= 1

{\displaystyle j_{2}=1/2}

. Os valores possíveis de

{\displaystyle J}

são então

J = 1

{\displaystyle J=1/2}

J = 3

{\displaystyle J=3/2}

. Dessa forma, a representação de produto tensorial hexadimensional decompõe-se como a soma direta de uma representação bidimensional e uma representação quadridimensional. O objetivo agora é descrever a decomposição precedente explicitamente, isto é, descrever de forma explícita os elementos da base no espaço produto tensorial para cada uma das representações componentes que surgem. Os estados de momento angular total formam uma base ortonormal de V3:

⟨

J ′

M ′

⟩

J ,

J ′

M ,

M ′

{\displaystyle \left\langle J\,M|J'\,M'\right\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}~.}

Estas regras podem ser iteradas para, por ex., combinar n dubletos (s=1/2) a fim de obter a série de decomposição de Clebsch-Gordan, (Triângulo de Catalan),

⊗ n

⨁

k = 0

⌊ n

2 ⌋

(

n + 1 − 2 k

n + 1

(

n + 1

)

(

−

)

{\displaystyle \mathbf {2} ^{\otimes n}=\bigoplus _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }~\left({\frac {n+1-2k}{n+1}}{n+1 \choose k}\right)~(\mathbf {n} +\mathbf {1} -\mathbf {2} \mathbf {k} )~,}

onde

⌊ n

2 ⌋

{\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }

é a função piso inteira; e o número precedendo o rótulo da dimensionalidade da representação irredutível em negrito (2j+1) indica a multiplicidade dessa representação na redução da representação. Por exemplo, por meio desta fórmula, a adição de três spins 1/2 produz um spin 3/2 e dois spins 1/2,

⊗

⊕

{\displaystyle {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }={\mathbf {4} }\oplus {\mathbf {2} }\oplus {\mathbf {2} }}

Definição formal dos coeficientes de Clebsch-Gordan Os estados acoplados podem ser expandidos através da relação de completude (resolução da identidade) na base desacoplada

Os coeficientes de expansão

⟨

M ⟩

{\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }

são os coeficientes de Clebsch-Gordan. Note que alguns autores os escrevem em uma ordem diferente, como

⟨

;

M ⟩

{\displaystyle \langle j_{1}\,j_{2};\,m_{1}\,m_{2}|J\,M\rangle }

. Outra notação comum é

⟨

M ⟩ =

J M

{\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle =C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}^{JM}}

. Aplicando os operadores

⊗ 1 + 1 ⊗

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} &=\mathrm {j} \otimes 1+1\otimes \mathrm {j} \\\mathrm {J} _{\mathrm {z} }&=\mathrm {j} _{\mathrm {z} }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\end{aligned}}}

a ambos os lados da equação definidora mostra que os coeficientes de Clebsch-Gordan só podem ser não nulos quando

−

≤ J

≤

{\displaystyle {\begin{aligned}|j_{1}-j_{2}|\leq J&\leq j_{1}+j_{2}\\M&=m_{1}+m_{2}.\end{aligned}}}

Relações de recorrência As relações de recorrência foram descobertas pelo físico Giulio Racah da Universidade Hebraica de Jerusalém em 1941. Aplicando os operadores de levantamento e abaixamento de momento angular total

⊗ 1 + 1 ⊗

{\displaystyle \mathrm {J} _{\pm }=\mathrm {j} _{\pm }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\pm }}

ao lado esquerdo da equação definidora obtém-se

[

]

M ⟩

= ħ

( J , M )

[

]

( M ± 1 ) ⟩

= ħ

( J , M )

∑

⟩ ⟨

( M ± 1 ) ⟩

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar C_{\pm }(J,M)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,(M\pm 1)\rangle \\&=\hbar C_{\pm }(J,M)\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle \end{aligned}}}

Aplicando os mesmos operadores ao lado direito obtém-se

∑

⟩ ⟨

M ⟩

= ħ

∑

(

)

(

± 1 )

⟩ +

(

)

(

± 1 ) ⟩

)

⟨

M ⟩

= ħ

∑

⟩

(

∓ 1 ) ⟨

(

∓ 1 )

M ⟩ +

(

∓ 1 ) ⟨

(

∓ 1 )

M ⟩

)

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }&\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}{\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}\,(m_{1}\pm 1)\,j_{2}\,m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\pm 1)\rangle {\Bigr )}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle {\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle {\Bigr )}.\end{aligned}}}

A combinação destes resultados fornece relações de recorrência para os coeficientes de Clebsch-Gordan, onde C± foi definido em 1:

( J , M ) ⟨

( M ± 1 ) ⟩ =

(

∓ 1 ) ⟨

(

∓ 1 )

M ⟩ +

(

∓ 1 ) ⟨

(

∓ 1 )

M ⟩ .

{\displaystyle C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle .}

Tomando o sinal superior com a condição de que M = J obtém-se a relação de recorrência inicial:

0 =

(

− 1 ) ⟨

(

− 1 )

J ⟩ +

(

− 1 ) ⟨

(

− 1 )

J ⟩ .

{\displaystyle 0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}\,(m_{1}-1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,J\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}-1)|J\,J\rangle .}

Na convenção de fase de Condon-Shortley, adiciona-se a restrição de que

⟨

( J −

)

J ⟩ > 0

{\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,(J-j_{1})|J\,J\rangle >0}

(e é, portanto, também real). Os coeficientes de Clebsch-Gordan ⟨j1 m1 j2 m2 | J M⟩ podem então ser encontrados a partir destas relações de recorrência. A normalização é fixada pela exigência de que a soma dos quadrados, que é equivalente à exigência de que a norma do estado |[j1 j2] J J⟩, deva ser igual a um. O sinal inferior na relação de recorrência pode ser usado para encontrar todos os coeficientes de Clebsch-Gordan com M = J − 1. O uso repetido desta equação fornece todos os coeficientes. Este procedimento para encontrar os coeficientes de Clebsch-Gordan mostra que todos eles são reais na convenção de fase de Condon-Shortley.

Expressão explícita

Relações de ortogonalidade Estas são mais claramente descritas introduzindo a notação alternativa

⟨ J

⟩ ≡ ⟨

M ⟩

{\displaystyle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }

A primeira relação de ortogonalidade é

∑

J =

−

∑

M = − J

⟨

M ⟩ ⟨ J

′

⟩ = ⟨

′

⟩ =

′

{\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}

(derivada do fato de que

∑

x ⟩ ⟨ x

{\textstyle \mathbf {1} =\sum _{x}|x\rangle \langle x|}

) e a segunda é

∑

⟨ J

⟩ ⟨

J ′

M ′

⟩ = ⟨ J

J ′

M ′

⟩ =

J ,

J ′

M ,

M ′

{\displaystyle \sum _{m_{1},m_{2}}\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J'\,M'\rangle =\langle J\,M|J'\,M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}.}

Casos especiais Para J = 0 os coeficientes de Clebsch-Gordan são dados por

⟨

0 ⟩ =

, −

( − 1

)

−

+ 1

{\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|0\,0\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{1}+1}}}.}

Para J = j1 + j2 e M = J temos

⟨

(

)

(

) ⟩ = 1.

{\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,j_{2}|(j_{1}+j_{2})\,(j_{1}+j_{2})\rangle =1.}

Para j1 = j2 = J / 2 e m1 = −m2 temos

⟨

( −

)

( 2

)

0 ⟩ =

( 2

)

(

−

) ! (

) !

( 4

) !

{\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{1}\,(-m_{1})|(2j_{1})\,0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}.}

Para j1 = j2 = m1 = −m2 temos

⟨

( −

)

0 ⟩ = ( 2

) !

2 J + 1

( J + 2

+ 1 ) ! ( 2

− J ) !

{\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{1}\,(-j_{1})|J\,0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}.}

Para j2 = 1, m2 = 0 temos

⟨

(

+ 1 )

m ⟩

(

− m + 1 ) (

+ m + 1 )

( 2

+ 1 ) (

+ 1 )

⟨

m ⟩

(

+ 1 )

⟨

(

− 1 )

m ⟩

= −

(

− m ) (

+ m )

( 2

+ 1 )

{\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}+1)\,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|j_{1}\,m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}-1)\,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}\end{aligned}}}

Para j2 = 1/2 temos

⟨

(

M −

1 2

)

1 2

(

1 2

)

⟩

= ±

1 2

(

1 ±

1 2

)

⟨

(

M +

1 2

)

1 2

(

−

1 2

)

(

1 2

)

⟩

1 2

(

1 ∓

1 2

)

{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j_{1}\,\left(M-{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{2}}{\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\\\left\langle j_{1}\,\left(M+{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,\left(-{\frac {1}{2}}\right){\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\mp {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\end{aligned}}}

Propriedades de simetria

⟨

M ⟩

= ( − 1

)

− J

⟨

( −

)

( −

)

( − M ) ⟩

= ( − 1

)

− J

⟨

M ⟩

= ( − 1

)

−

2 J + 1

+ 1

⟨

( − M )

( −

) ⟩

= ( − 1

)

2 J + 1

+ 1

⟨ J

( − M )

( −

) ⟩

= ( − 1

)

−

2 J + 1

+ 1

⟨ J

( −

)

⟩

= ( − 1

)

2 J + 1

+ 1

⟨

( −

)

⟩

{\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\,M\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,(-m_{1})\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1}\,m_{1}\rangle \end{aligned}}}

Uma maneira conveniente de deduzir estas relações é através da conversão dos coeficientes de Clebsch-Gordan para os símbolos 3-j de Wigner usando 3. As propriedades de simetria dos símbolos 3-j de Wigner são muito mais simples.

Regras para fatores de fase Deve-se ter cuidado ao simplificar os fatores de fase: um número quântico pode ser um semointeiro em vez de um número inteiro, logo (−1)2k não é necessariamente 1 para um dado número quântico k, a menos que se possa provar que seja um número inteiro. Em vez disso, ele é substituído pela seguinte regra mais fraca:

( − 1

)

4 k

= 1

{\displaystyle (-1)^{4k}=1}

para qualquer número quântico tipo-momento angular k. No entanto, uma combinação de ji e mi é sempre um número inteiro, de modo que a regra mais forte se aplica a estas combinações:

( − 1

)

2 (

−

)

= 1

{\displaystyle (-1)^{2(j_{i}-m_{i})}=1}

Esta identidade também é válida se o sinal de ji ou de mi ou de ambos for revertido. É útil observar que qualquer fator de fase para um dado par (ji, mi) pode ser reduzido à forma canônica:

( − 1

)

+ b (

−

)

{\displaystyle (-1)^{aj_{i}+b(j_{i}-m_{i})}}

onde a ∈ {0, 1, 2, 3} e b ∈ {0, 1} (outras convenções também são possíveis). A conversão dos fatores de fase para esta forma facilita a identificação de dois fatores de fase equivalentes. (Note que esta forma é canônica apenas localmente: ela falha em levar em consideração as regras que regem combinações de pares (ji, mi) como aquela descrita no parágrafo a seguir.) Uma regra adicional é válida para combinações de j1, j2 e j3 que estão relacionadas por um coeficiente de Clebsch-Gordan ou símbolo 3-j de Wigner:

( − 1

)

2 (

)

= 1

{\displaystyle (-1)^{2(j_{1}+j_{2}+j_{3})}=1}

Esta identidade também se mantém se o sinal de qualquer ji for revertido, ou se qualquer um deles for substituído por um mi.

Relação com os símbolos 3-j de Wigner Os coeficientes de Clebsch-Gordan estão relacionados aos símbolos 3-j de Wigner, que possuem relações de simetria mais convenientes.

O fator (−1)2 j2 deve-se à restrição de Condon-Shortley de que ⟨j1 j1 j2 (J − j1)|J J⟩ > 0, enquanto (−1)J − M deve-se à natureza de reversão temporal de |J M⟩. Isso permite chegar à expressão geral:

⟨

M ⟩

≡ δ (

, M )

( 2 J + 1 ) (

− J ) ! (

−

+ J ) ! ( −

+ J ) !

(

+ J + 1 ) !

(

−

) ! (

−

) ! (

) ! ( J − M ) ! ( J + M ) !

∑

k = K

( − 1

)

k ! (

− J − k ) ! (

−

− k ) ! (

− k ) ! ( J −

+ k ) ! ( J −

−

+ k ) !

{\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &\equiv \delta (m_{1}+m_{2},M){\sqrt {\frac {(2J+1)(j_{1}+j_{2}-J)!(j_{1}-j_{2}+J)!(-j_{1}+j_{2}+J)!}{(j_{1}+j_{2}+J+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(J-M)!(J+M)!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-J-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(J-j_{2}+m_{1}+k)!(J-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}.}

O somatório é executado sobre aqueles valores inteiros k para os quais o argumento de cada fatorial no denominador seja não negativo, isto é, os limites de somatório K e N são tomados como iguais: o inferior

K = max ( 0 ,

− J −

− J +

) ,

{\displaystyle K=\max(0,j_{2}-J-m_{1},j_{1}-J+m_{2}),}

o superior

N = min (

− J ,

−

) .

{\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-J,j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}

Convencionalmente, fatoriais de números negativos são definidos como iguais a zero, de modo que os valores do símbolo 3j em, por exemplo,

{\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}

{\displaystyle j_{1}<m_{1}}

sejam definidos automaticamente como zero.

Relação com as matrizes D de Wigner

∫

2 π

d α

∫

sin ⁡ β

d β

∫

2 π

d γ

M , K

( α , β , γ

)

∗

( α , β , γ )

2 J + 1

⟨

M ⟩ ⟨

K ⟩

{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,D_{M,K}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{m_{1},k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2},k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\\{}={}&{\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle j_{1}\,k_{1}\,j_{2}\,k_{2}|J\,K\rangle \end{aligned}}}

Relação com os harmônicos esféricos No caso em que inteiros estão envolvidos, os coeficientes podem estar relacionados às integrais dos harmônicos esféricos:

∫

4 π

∗

( Ω )

∗

( Ω )

d Ω =

( 2

+ 1 ) ( 2

+ 1 )

4 π ( 2 L + 1 )

⟨

0 ⟩ ⟨

M ⟩

{\displaystyle \int _{4\pi }Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}{}^{*}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}{}^{*}(\Omega )Y_{L}^{M}(\Omega )\,d\Omega ={\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle }

Decorre disto e da ortonormalidade dos harmônicos esféricos que os coeficientes CG são de fato os coeficientes de expansão de um produto de dois harmônicos esféricos em termos de um único harmônico esférico:

( Ω )

( Ω ) =

∑

L , M

( 2

+ 1 ) ( 2

+ 1 )

4 π ( 2 L + 1 )

⟨

0 ⟩ ⟨

M ⟩

( Ω )

{\displaystyle Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L,M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )}

Outras propriedades

∑

( − 1

)

j − m

⟨ j

( − m )

0 ⟩ =

J , 0

2 j + 1

{\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}\langle j\,m\,j\,(-m)|J\,0\rangle =\delta _{J,0}{\sqrt {2j+1}}}

Coeficientes de Clebsch-Gordan para grupos específicos Para grupos arbitrários e as suas representações, os coeficientes de Clebsch-Gordan não são conhecidos em geral. Contudo, são conhecidos algoritmos para a produção de coeficientes de Clebsch-Gordan para o grupo unitário especial SU(n). Em particular, os coeficientes de Clebsch-Gordan para SU(3) foram computados e tabelados devido à sua utilidade na caracterização de decaimentos hadrônicos, onde existe uma simetria SU(3) de sabor que relaciona os quarks up, down e estranho. Uma interface web para o tabelamento dos coeficientes de Clebsch-Gordan para SU(N) encontra-se prontamente disponível.

Ver também

Observações

Notas

Referências Alex, A.; Kalus, M.; Huckleberry, A.; von Delft, J. (2011). «A numerical algorithm for the explicit calculation of SU(N) and SL(N,C) Clebsch–Gordan coefficients». J. Math. Phys. 82 (2). 023507 páginas. Bibcode:2011JMP....52b3507A. arXiv:1009.0437. doi:10.1063/1.3521562 Condon, Edward U.; Shortley, G. H. (1970). «Ch. 3». The Theory of Atomic Spectra. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09209-8 Edmonds, A. R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07912-7 Greiner, Walter; Müller, Berndt (1994). Quantum Mechanics: Symmetries 2a ed. [S.l.]: Springer Verlag. ISBN 978-3540580805 Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, ISBN 978-3319134666, Graduate Texts in Mathematics, 222 2a ed. , Springer Kaplan, L. M.; Resnikoff, M. (1967). «Matrix products and explicit 3, 6, 9, and 12j coefficients of the regular representation of SU(n)». J. Math. Phys. 8 (11): 2194. Bibcode:1967JMP.....8.2194K. doi:10.1063/1.1705141 Kaeding, Thomas (1995). «Tables of SU(3) isoscalar factors». Atomic Data and Nuclear Data Tables. 61 (2): 233–288. Bibcode:1995ADNDT..61..233K. arXiv:nucl-th/9502037. doi:10.1006/adnd.1995.1011 Merzbacher, Eugen (1998). Quantum Mechanics 3a ed. [S.l.]: John Wiley. pp. 428–9. ISBN 978-0-471-88702-7 Albert Messiah (1966). Quantum Mechanics (Vols. I & II), tradução em inglês a partir do francês de G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons. de Swart, J. J. (1963). «The Octet model and its Clebsch-Gordan coefficients». Rev. Mod. Phys. (Submitted manuscript). 35 (4): 916. Bibcode:1963RvMP...35..916D. doi:10.1103/RevModPhys.35.916

Ligações externas Nakamura, Kenzo; et al. (2010). «Review of Particle Physics: Clebsch-Gordan coefficients, spherical harmonics, and d functions» (PDF). Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics. 37 (75021): 368. Bibcode:2010JPhG...37g5021N. doi:10.1088/0954-3899/37/7A/075021. Atualização parcial para a edição de 2012 Calculadora Web para os Coeficientes de Clebsch-Gordan, 3-j e 6-j Calculadora descarregável para Coeficientes de Clebsch-Gordan em Mac e Windows Interface web para o tabelamento de coeficientes de Clebsch-Gordan em SU(N)

Leitura adicional

Coeficientes de Clebsch-Gordan

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