Grupo de Galois absoluto

Em matemática, em particular na geometria anabeliana e na geometria p-ádica, o grupo de Galois absoluto

G

K

{\displaystyle G_{K}}

de um corpo

K

{\displaystyle K}

é o grupo de Galois de

K

s e p

{\displaystyle K^{\mathrm {sep} }}

sobre

K

{\displaystyle K}

, onde

K

s e p

{\displaystyle K^{\mathrm {sep} }}

é um fecho separável de

K

{\displaystyle K}

. De forma equivalente, pode-se descrevê-lo como o grupo de todos os automorfismos do fecho algébrico de

K

{\displaystyle K}

que fixam

K

{\displaystyle K}

. O grupo de Galois absoluto é bem definido até automorfismo interno. Trata-se de um grupo profinito. Quando

K

{\displaystyle K}

é um corpo perfeito, o fecho separável

K

s e p

{\displaystyle K^{\mathrm {sep} }}

coincide com um fecho algébrico

K

a l g

{\displaystyle K^{\mathrm {alg} }}

de

K

{\displaystyle K}

. Em particular, isso ocorre quando

K

{\displaystyle K}

tem característica zero ou quando

K

{\displaystyle K}

é um corpo finito.

Exemplos Se

K

{\displaystyle K}

é algebricamente fechado, então

G

K

{\displaystyle G_{K}}

é trivial. Para

K =

R

{\displaystyle K=\mathbb {R} }

, o grupo

G

R

{\displaystyle G_{\mathbb {R} }}

é cíclico de ordem 2 (gerado pela conjugação complexa), pois

C

{\displaystyle \mathbb {C} }

é o fecho separável de

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

e

[

C

:

R

] = 2

{\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}

. Se

K

{\displaystyle K}

é um corpo finito, então

G

K

{\displaystyle G_{K}}

é isomorfo ao grupo dos inteiros profinitos

Z

^

=

lim ←

⁡

Z

/

n

Z

.

{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}

A automorfismo de Frobenius fornece um gerador topológico canónico de

G

K

{\displaystyle G_{K}}

. Se

K

{\displaystyle K}

tem

q

{\displaystyle q}

elementos, então a aplicação é

x ↦

x

q

{\displaystyle x\mapsto x^{q}}

para todo

x

{\displaystyle x}

em

K

a l g

{\displaystyle K^{\mathrm {alg} }}

. O grupo de Galois absoluto do corpo de funções racionais com coeficientes complexos é livre (como grupo profinito). Esse resultado é devido a Adrien Douady e relaciona-se ao teorema de existência de Riemann. Mais geralmente, seja

C

{\displaystyle C}

um corpo algebricamente fechado e

x

{\displaystyle x}

uma indeterminada. Então o grupo de Galois absoluto de

C ( x )

{\displaystyle C(x)}

é livre de posto igual à cardinalidade de

C

{\displaystyle C}

. Esse resultado foi obtido por David Harbater e Florian Pop e, mais tarde, também por Dan Haran e Moshe Jarden por métodos algébricos. Seja

K

{\displaystyle K}

uma extensão finita de

Q

p

{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}

. Para

p ≠ 2

{\displaystyle p\neq 2}

, o grupo de Galois absoluto de

K

{\displaystyle K}

é gerado por

[ K :

Q

p

] + 3

{\displaystyle [K:\mathbb {Q} _{p}]+3}

elementos e admite uma descrição explícita por geradores e relações. Esse é um resultado de Uwe Jannsen e Kay Wingberg. No caso

p = 2

{\displaystyle p=2}

, existem resultados parciais, mas a estrutura para

Q

2

{\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}

não é conhecida. Um outro caso em que o grupo de Galois absoluto foi determinado é o do maior subcorpo totalmente real do corpo dos números algébricos.

Problemas Não se conhece uma descrição direta do grupo de Galois absoluto de

Q

{\displaystyle \mathbb {Q} }

. Nesse caso, o teorema de Belyi implica que o grupo de Galois absoluto atua fielmente nos dessins d'enfants de Grothendieck (certos grafos/“mapas” em superfícies), o que permite visualizar aspectos da teoria de Galois de corpos de números. Um dos objetivos da geometria anabeliana é avançar nessa direção. Seja

K

{\displaystyle K}

a máxima extensão abeliana de

Q

{\displaystyle \mathbb {Q} }

. A conjectura de Shafarevich afirma que o grupo de Galois absoluto de

K

{\displaystyle K}

é um grupo profinito livre. Um problema ativo é resolver a conjectura de Ján Mináč e Nguyên Duy Tân sobre o aniquilamento de produtos de Massey de ordem

n

{\displaystyle n}

para

n ≥ 3

{\displaystyle n\geq 3}

.

Alguns resultados gerais O teorema de Neukirch–Uchida afirma que todo isomorfismo entre grupos de Galois absolutos de corpos de números decorre de um automorfismo de corpos. Em particular, dois grupos de Galois absolutos de corpos de números são isomorfos se, e somente se, os corpos de base são isomorfos. Todo grupo profinito ocorre como grupo de Galois de alguma extensão de Galois; porém, nem todo grupo profinito aparece como grupo de Galois absoluto. Por exemplo, o teorema de Artin–Schreier implica que os únicos grupos de Galois absolutos finitos são o trivial e o de ordem 2, isto é, há apenas duas classes de isomorfismo possíveis. Todo grupo profinito projetivo pode ser realizado como grupo de Galois absoluto de um corpo pseudo-algebricamente fechado. Esse resultado é devido a Alexander Lubotzky e Lou van den Dries.

Uso na geometrização da correspondência local de Langlands Num trabalho de 2022 sobre a geometrização da correspondência local de Langlands, Laurent Fargues e Peter Scholze procuram recuperar informação sobre um corpo local E a partir do seu grupo de Galois absoluto, que é isomorfo ao grupo fundamental étale de Spec(E). Essa identificação surge no contexto do estudo do grupo de Weil (uma variante do grupo de Galois absoluto) de E. A abordagem envolve interpretar a informação de Spec(E) via o grupo de automorfismos

G ( E )

{\displaystyle G(E)}

do torsor trivial de

G

{\displaystyle G}

sobre Spec(E), conectando-se assim a questões de natureza anabeliana.

Referências

Fontes Douady, Adrien (1964). «Détermination d'un groupe de Galois». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris. 258: 5305–5308. MR 0162796 Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Field arithmetic. Col: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 11 3rd ed. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 Haran, Dan; Jarden, Moshe (2000). «The absolute Galois group of C(x)». Pacific Journal of Mathematics. 196 (2): 445–459. MR 1800587. doi:10.2140/pjm.2000.196.445 Harbater, David (1995). «Fundamental groups and embedding problems in characteristic p». Recent developments in the inverse Galois problem (Seattle, WA, 1993). Col: Contemporary Mathematics. 186. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. pp. 353–369. MR 1352282 Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982). «Die Struktur der absoluten Galoisgruppe

p

{\displaystyle {\mathfrak {p}}}

-adischer Zahlkörper» (PDF). Inventiones Mathematicae. 70: 71–78. Bibcode:1982InMat..70...71J. doi:10.1007/bf01393199 Predefinição:Neukirch et al. CNF Pop, Florian (1995). «Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture». Inventiones Mathematicae. 120 (3): 555–578. Bibcode:1995InMat.120..555P. MR 1334484. doi:10.1007/bf01241142 Mináč, Ján; Tân, Nguyên Duy (2016). «Triple Massey products and Galois Theory». Journal of the European Mathematical Society. 19 (1): 255–284 Harpaz, Yonatan; Wittenberg, Olivier (2023). «The Massey vanishing conjecture for number fields». Duke Mathematical Journal. 172 (1): 1–41 Szamuely, Tamás (2009). Galois Groups and Fundamental Groups. Col: Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 117. Cambridge: Cambridge University Press